Procurar por funções de verossimilhanças em modelos estatístico é só uma decomposição para voltar a algo que já estava ali?

Função de verossimilhança é a função dos parâmetros condicionada aos dados observados. Para um modelo com parâmetro $\theta$ e amostra $x$, define-se $L(\theta\mid x)=p(x\mid \theta)$, tratada como função de $\theta$.

A operação central é a troca de papéis. Em $p(x\mid \theta)$, $x$ é variável aleatória e $\theta$ é fixo. Na verossimilhança, $x$ é fixado pelos dados e $\theta$ varia. A mudança permite inferência sobre $\theta$.

Se $X_1,\dots,X_n$ são independentes, então

$$L(\theta\mid x)=\prod_{i=1}^n p(x_i\mid \theta)$$

Aplicar log transforma produto em soma e reduz o custo de otimização. A fatoração não altera a informação. Apenas reorganiza a expressão.

Pelo teorema de fatoração de Ronald Fisher,

$$L(\theta\mid x)=g(T(x),\theta)h(x)$$

onde $T\left(x\right)$ é estatística suficiente. Toda a informação sobre θ contida em x está em T(x). Há redução de dimensão sem perda de informação.

Exemplo. Para X_i \sim \mathcal{N}(μ,σ^2) com σ^2 conhecido, a log-verossimilhança depende de \sum x_i. A média amostral \bar{x} é suficiente para μ. O estimador de máxima verossimilhança é

$$\hat{\mu}=\bar{x}$$

A verossimilhança não é densidade em θ. Não integra 1 no espaço paramétrico. Interpreta-se como medida de plausibilidade relativa entre valores de θ, dados os dados fixados.

A escrita em produto ocorre sob independência. Não é requisito geral. Em séries temporais, dados espaciais e modelos hierárquicos, a verossimilhança pode não fatorar em forma simples.

Conclusão. A verossimilhança não adiciona dados nem recupera conteúdo oculto. Ela fixa os dados e reexpressa o modelo como função dos parâmetros. Isso permite estimação, comparação de modelos e testes baseados em razão de verossimilhança.