Procurar por funções de verossimilhanças em modelos estatístico é só uma decomposição para voltar a algo que já estava ali?

Durante o desenvolvimento e a calibragem de uma estratégia automatizada para operar o mini índice da Ibovespa, surgiu uma questão conceitual. A rotina de otimização de parâmetros em uma EA envolve testar combinações que maximizam lucro, reduzem drawdown ou melhoram a curva de capital. Esse processo parece empírico. A pergunta foi se existe um paralelo formal com inferência estatística.

Em termos estatísticos, a função de verossimilhança é definida como L(θ|x)=p(x|θ), tratada como função do parâmetro θ, com os dados x fixados. A operação central é a troca de papéis. Em p(x|θ), x é variável aleatória e θ é fixo. Na verossimilhança, x passa a ser observado e θ varia. Isso permite inferência sobre θ.

Se X₁,…,Xₙ são independentes, a verossimilhança assume a forma de produto:

L(θ|x)=∏ᵢ p(xᵢ|θ)

Aplicar log transforma produto em soma. Isso simplifica a otimização numérica. A fatoração não altera a informação. Apenas reorganiza a expressão.

Pelo teorema de fatoração de Ronald Fisher:

L(θ|x)=g(T(x),θ)h(x)

A função T(x) é estatística suficiente. Toda a informação sobre θ contida nos dados está em T(x). Há redução de dimensão sem perda de informação.

Exemplo. Para Xᵢ ∼ 𝒩(μ,σ²) com σ² conhecido, a log-verossimilhança depende de ∑xᵢ. A média amostral x̄ é suficiente para μ. O estimador de máxima verossimilhança é μ̂=x̄.

A verossimilhança não é uma densidade em θ. Não integra 1 no espaço paramétrico. Ela fornece uma medida de plausibilidade relativa entre valores de θ, dados observados fixos.

A fatoração em produto depende de hipóteses como independência. Em séries temporais financeiras, como preços do mini índice, essa hipótese raramente é válida de forma estrita. Estruturas com dependência temporal, heterocedasticidade ou regimes exigem outras formas de modelagem.

Conclusão. A verossimilhança não adiciona informação nem recupera algo oculto. Ela fixa os dados e reexpressa o modelo como função dos parâmetros. Esse reposicionamento é o que viabiliza estimação, comparação de modelos e testes formais.

No contexto de otimização de uma EA, a busca por parâmetros que maximizam lucro pode ser interpretada como uma função objetivo definida sobre dados históricos. Não é, em geral, uma verossimilhança no sentido estrito. A função objetivo pode não corresponder a uma distribuição probabilística explícita. A analogia existe no aspecto de “variar parâmetros com dados fixos”, mas o critério de otimização é distinto.